韦恩图中的条件概率 - 可视化条件概率计算
基本原理：条件概率在韦恩图中表现为限制样本空间后的比例关系。
公式：\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\text{A和B的重叠区域}}{\text{B的总区域}} \)
理解：在韦恩图中，条件概率就是重叠区域占条件事件区域的比例。
\( P(A|B) \)：在B区域内，A发生的比例
\( P(B|A) \)：在A区域内，B发生的比例
\( P(A'|B) \)：在B区域内，A不发生的比例
\( P(A|B') \)：在B'区域内，A发生的比例
题目：某班级50名学生中，30人喜欢数学，25人喜欢英语，15人两门都喜欢。已知一名学生喜欢数学，求他也喜欢英语的概率。
步骤1：绘制韦恩图
• 样本空间：50名学生
• 数学：30人，英语：25人
• 交集：15人（两门都喜欢）
• 只喜欢数学：30 - 15 = 15人
• 只喜欢英语：25 - 15 = 10人
步骤2：计算条件概率
• \( P(\text{英语}|\text{数学}) = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \)
• 即在喜欢数学的30人中，有15人也喜欢英语
题目：从一副扑克牌中抽一张，已知抽到的是红桃，求抽到A的概率。
步骤1：分析事件
• A：抽到A（4张）
• B：抽到红桃（13张）
• \( A \cap B \)：红桃A（1张）
步骤2：韦恩图理解
• 在红桃区域内，只有1张是A
• \( P(A|B) = \frac{1}{13} \)
某学校100名学生中，60人参加数学竞赛，40人参加英语竞赛，20人两个竞赛都参加。
a) 绘制韦恩图
b) 已知一名学生参加数学竞赛，求他也参加英语竞赛的概率
c) 已知一名学生参加英语竞赛，求他也参加数学竞赛的概率
d) 已知一名学生不参加数学竞赛，求他参加英语竞赛的概率
答题区域：
从一副标准扑克牌中随机抽取一张牌，定义事件：
A：抽到红桃
B：抽到A
C：抽到K
a) 已知抽到红桃，求抽到A的概率
b) 已知抽到A，求抽到红桃的概率
c) 已知抽到红桃，求抽到K的概率
d) 已知抽到K，求抽到红桃的概率
答题区域：
某公司100名员工中，50人会英语，40人会法语，30人会德语，20人同时会英语和法语，15人同时会英语和德语，10人同时会法语和德语，5人三种语言都会。
a) 绘制三圆韦恩图
b) 已知一名员工会英语，求他也会法语的概率
c) 已知一名员工会英语，求他也会德语的概率
d) 已知一名员工会英语和法语，求他也会德语的概率
答题区域：
解答过程：
韦恩图分析：
• 样本空间：100名学生
• 数学竞赛：60人，英语竞赛：40人
• 交集：20人（两个都参加）
• 只参加数学：60 - 20 = 40人
• 只参加英语：40 - 20 = 20人
• 都不参加：100 - (40 + 20 + 20) = 20人
条件概率计算：
• b) \( P(\text{英语}|\text{数学}) = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \)
• c) \( P(\text{数学}|\text{英语}) = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \)
• d) \( P(\text{英语}|\text{不数学}) = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \)
解答过程：
事件分析：
• A：红桃（13张）
• B：A（4张：红桃A、黑桃A、梅花A、方块A）
• C：K（4张：红桃K、黑桃K、梅花K、方块K）
• \( A \cap B \)：红桃A（1张）
• \( A \cap C \)：红桃K（1张）
条件概率计算：
• a) \( P(B|A) = \frac{1}{13} \)
• b) \( P(A|B) = \frac{1}{4} \)
• c) \( P(C|A) = \frac{1}{13} \)
• d) \( P(A|C) = \frac{1}{4} \)
解答过程：
三圆韦恩图分析：
• 英语：50人，法语：40人，德语：30人
• 英语∩法语：20人，英语∩德语：15人，法语∩德语：10人
• 三种都会：5人
• 只英语：50 - 20 - 15 + 5 = 20人
• 只法语：40 - 20 - 10 + 5 = 15人
• 只德语：30 - 15 - 10 + 5 = 10人
条件概率计算：
• b) \( P(\text{法语}|\text{英语}) = \frac{20}{50} = \frac{2}{5} \)
• c) \( P(\text{德语}|\text{英语}) = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} \)
• d) \( P(\text{德语}|\text{英语∩法语}) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)